Tisseron C. (1997)
Recherche de fonctions polynomes de degré trois dont la forme du graphe est donnée où l'usage de l'ordinateur comme référence produit un cercle vicieux dans la preuve

Proof Newsletter Mai/Juin 1997.

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Présentation de la situation

Le contexte :Il s'agit de deux élèves de première S travaillant en binome pour l''étude de graphes de fonctions polynomes du troisième degré. L'observation a été faite en mai 1994 dans une classe de première S. A cette date, chaque élève de la classe dispose en propre et de façon permanente depuis cinq mois d'un micro ordinateur portable muni d'un logiciel de calcul formel (Cet équipement a été fait par l'IREM de Lyon dans le cadre d'un projet de recherche). Les micro ordinateur utilisés à cette date sont du type "quaderno" et ont la propriété d'être lents pour l'affichage des tracés de courbes. Pendant l'observation, tous les élèves travaillent par deux dans leur salle de classe et à un horaire normal avec leur professeur de mathématiques.

La situation proposée est destinée à tester le type d'utilisation du logiciel comme instrument de recherche et de vérification. Chaque groupe de deux élèves dispose d'un exemplaire d'un énoncé et d'une "feuille de réponse" reproduits ci dessous.

Enoncé distribué aux élèves :

J'ai représenté graphiquement 6 fonctions polynomes de degré 3. J'ai obtenu les 6 courbes suivantes. Pouvez vous trouver des exemples de fonctions polynômes de degré 3 illustrant chacune de ces courbes. Qu'est ce qui vous permet de décider que vos exemples correspondent à la courbe que vous avez choisi ?

 

Feuille de réponse distribuée aux élèves

NOMS

FEUILLE DE REPONSE

TYPES

 

 

EXEMPLES PROPOSES

POURQUOI ?

Désormais nous nous occupons d'un groupe particulier de deux élèves notés E1 et E2. Leur recherche de ce problème a été filmée en vidéo, le décryptage complet de la séquence est disponible à l'adresse suivante (http://www.ens-lyon.fr/pub/COAST/DREDraw).

Nous allons regarder surtout la façon dont ces élèves justifient leurs réponses dans la colonne "pourquoi?". Ces justifications sont faites en s'appuyant d'une part sur les référents graphiques fournis par l'ordinateur et d'autre part sur les propriétés dont disposent les élèves. Nous verrons ci dessous dans l'analyse de la tâche l'ambiguité du type de preuve que cette demande de justification pouvait induire, en particulier sur les modalités d'utilisation des graphes fournis par l'ordinateur comme validation perceptive des propriétés attendues. Mais le point qui va nous interesser ici est la pertinence, du point de vue de sa validité comme preuve, de cette utilisation des référents graphiques dans la justification proposée par les élèves.

Dans l'étude présentée ici, les deux élèves utilisent l'ordinateur pour faire afficher les graphes de certaines fonctions polynomes du troisième degré. Pour ces élèves, le choix de ces fonctions ne se fait pas au hasard, mais à partir de stratégies basées sur les connaissances (justes ou non, mais en tous les cas incomplètes) qu'on les élèves des relations entre les propriétés d'une fonction polynome du troisième degré et la forme de son graphe. Par divers moyens, les élèves déterminent une fonction polynome particulière destinée à représenter un type choisi, puis ils font afficher le graphe par l'ordinateur pour tester leur idée.

Ce que nous voulons présenter ici est le point suivant.

Il apparait que les élèves sont capables d'élaborer une stratégie argumentée utilisant les référents graphiques de l'énoncé de façon appropriée au type de justification proposé. Un problème apparaît lorsque la vérification expérimentale ne confirme pas le résultat attendu, c'est à dire la forme du graphe de la fonction construite comme exemple correspond à un type distinct du type attendu. Dans ce cas, les élèves tentent tout de même d'utiliser la fonction correspondante dans leur feuille de réponse, mais alors la justification proposée dans la colonne "pourquoi" comporte un risque de cercle vicieux.

Analyse de la tâche

La tâche présente deux aspects contraignants pour les élèves.

Un aspect social lié au contrat de la situation : obligation d'une production commune matérialisée par la feuille de réponse à remplir.

Un aspect cognitif : utilisation dans un contexte inhabituel de la mise en relation des graphes représentés avec les propriétés qu'ils expriment sur les fonctions :

-les repères habituels à ce mode de représentation : les axes, voire les unités, sont absents sur l'énoncé.

-l'expression "illustrant" est à interpréter par le repérage des invariants visés par l'enseignant : essentiellement les variations du signe de la dérivée et son annulation. Les élèves peuvent penser à illustrer par une forme superposable ou ayant des variations perceptivement analogues. De ce point de vue, le repérage d'une tangente horizontale en un point d'inflexion n'est pas perceptivement aussi fort que le sens de variation.

-les modalités de fonctionnement des connaissances relatives à l'utilisation des liens entre variation de la fonction et signe de la dérivée se font en sens inverse de l'usage classique.

Regardons plus en détail ce dernier aspect.

Pour des élèves qui partent d'un type donné et qui veulent construire un fonction dont le graphe a ce type, la stratégie consiste à effectuer les tâches suivantes :

a) repérer le(s) signe(s) de la dérivée à partir du sens de variation vu sur le type choisi ;

b) fabriquer une fonction polynome de degré 2 qui va tenir lieu de dérivée ayant ce(s) signe(s);

c) fabriquer une fonction polynome de degré 3 par passage à une primitive sur chaque monôme ;

d) faire tracer son graphe à l'ordinateur, vérifier qu'il est du type requis.

Nous verrons ci dessous comment continuent les élèves suivant que le type obtenu est celui attendu ou non. Pour chacune de ces tâches, regardons d'abord quelles sont les connaissances mises en oeuvre par les élèves et les savoirs de référence correspondant. Ces connaissances (justes ou fausses) sont numérotées P0, P1, ...dans l'ordre de leur apparition dans le dialogue.

Une fois choisi un graphe type dans l'énoncé, la première étape est la détermination du signe de la dérivée d'une fonction donnant ce type à partir des variations perceptives du graphe. Celà se fait théoriquement à partir des propriétés classiques suivantes :

T 0 : Si f'(a)=0, le graphe de f en (a,f(a)) a un sommet ou un point d'inflexion ;

Cette propriété est importante pour distinguer théoriquement les types 1 et 2, 4 et 6.

T1 : Si f'(x) > 0 (resp. f'(x) < 0) sur un intervalle, alors la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle.

Par disjonction des cas, la perception des propriétés du graphe permet de décider de propriétés de la dérivée. C'est dans ce sens qu'elle est utilisé par les élèves avec les règles suivantes :

P0 : si le graphe de f a un sommet (ou une inflexion), la dérivée de f s'annule.

P1 : Si la courbe monte, alors dans le tableau la fonction est croissante, donc il y a un signe plus à la dérivée ; (P'1 pour ... descend ... décroissante ... signe moins ...).

Ces propriétés permettent aux élèves de construire un tableau de variation comportant l'aspect qualitatif du graphe et les signes correspondants de la dérivée. Notons que si la perception de sommets est immédiate, il n'en va pas de même pour les points d'inflexion.

A partir de ce tableau, les élèves tentent de fabriquer une fonction polynome de degré 2 qui va tenir lieu de dérivée ayant ce(s) signe(s). A ce niveau, il est nécessaire de disposer de fonctions de référence dont les variations de signe correspondent à celles obtenues. Par exemple, pour les élèves l'exemple générique de fonction toujours positive est le trinome sans racine à coefficient directeur positif ( que les élèves considèrent aussi comme la "fonction paire" sans doute par fusion avec le cas particulier y=x2).

P2 : la fonction paire(exemple de y = x2) est toujours positive .

Notons une difficulté : les élèves n'ont pas d'exemple disponible de fonction toujours négative. Pour en obtenir les élèves vont affecter plusieurs fois le signe moins au coefficient dominant d'une fonction trinôme toujours positive (Cf. P6 ci dessous) confondant sans doute les deux énoncés suivants :

-Le sens de variation de y = ax +b dépend du signe de a (croissant pour a>0, décroissant pour a<0).

-La fonction y=ax2+bx+c prend le signe de a à l'extèrieur des racines.

A l'étape suivante, il s'agit d'obtenir une fonction à partir de la connaissance de sa dérivée. Pour celà, les élèves utilisent P3:

P3 : la fonction est x2 (resp x3) exactement quand la dérivée est 2x (resp.3x2).

Les autres propriétés utilisées par les élèves sont les suivantes.

P4 : la dérivée d'une constante est nulle.

P5 : si les graphes sont "symétriques"(par rapport à un axe imaginé en "position habituelle") alors les fonctions sont dans une relation dite "contraire, inverse,opposée".

Cette façon de parler est nécessaire aux élèves pour mettre en relation les types par paires. Pour mettre en relation des fonctions dont les graphes sont ainsi "symétriques", les élèves utilisent la propriété P6 :

P6 : le signe du coefficient dominant (appelé directeur) de f ' détermine le signe de f', donc le sens de variation de f.

Donc , par application de P6, un changement de ce signe doit donner un graphe symétrique. Cette propriété P6 est très prégnante. Elle est sans doute induite par la propriété P7 :

P7 : un trinome du second degré a le signe de a en dehors des racines.

Il s'agit bien sûr du fait que toute fonction trinome ayant deux racines prend le signe de a (resp. -a) à l'extèrieur (resp. à l'intèrieur) des racines. Mais les élèves l'utilisent sous la forme ci dessus pour déterminer le signe du coéfficient dominant du trinome dérivé sans jamais s'assurer algébriquement que le trinome qu'ils considèrent explicitement a bien des racines.

P8 : une fonction polynome contient plusieurs termes.

Cette propriété fait obstacle pour l'élève E2 qui résiste à utiliser y=x3 comme fonction polynome. C'est son camarade redoublant E1 qui le convaincra de cette possibilité.

Deux utilisations différentes de P1.

Les représentations graphiques de l'énoncé données aux élèves ne contiennent ni axe ni unités et permettent donc de lire le signe de f' sans interférer avec celui de f dans la première étape a). Mais il n'en est pas de même des tracés par ordinateur qui affichent simultanément les axes avec les graphes et induisent ainsi une lecture du signe de f. L'importance de la présence ou non des axes est bien connue par ailleurs (Duval Raymond, 1988, Graphiques et équations, Annales de didactique et de sciences cognitives, 1, 235-253).

Donc, dans les phases de contrôle à partir des tracés à l'ordinateur, l'usage de P1 est plus complexe car il s'agit de lire le signe de f' sur la courbe de variation de f sans le confondre avec le signe de f.

Une telle aptitude suppose pour l'élève de travailler simultanément sur deux niveaux de signification différents :

-la fonction pour laquelle les informations pertinentes sont représentées de façon congruente sur le graphe ;

-la fonction dérivée pour laquelle les informations pertinentes doivent être interprétées du graphe par un codage d'une autre nature que celui qui donne accés aux informations sur f.

De ce point de vue, le graphe de f fonctionne comme un modèle standart de la fonction f, mais pas pour la fonction f '.

L'expression modèle signifiant qu'il s'agit d'une représentation congruente pour certaines propriétés ;

L'expression standart signifiant qu'il s'agit d'une représentation habituelle dont le fonctionnement est devenu une routine.

Ce travail simultané sur deux niveaux de signification représente un approfondissement du sens de la dérivée. L'usage des calculatrices graphiques a permis de développer aujourd'hui des exercices spécifiques destinés à développer l'aptitude à mettre en correspondance les propriétés de f ' lues sur le graphe de f avec celles du graphe de f '. Les élèves observés sont en phase d'apprentissage de cette technique à travers l'activité proposée.

Les réponses de l'ordinateur : moyens de contrôle et/ou réponse bonne à prendre

Le tracé de l'ordinateur peut être utilisée comme moyen de contrôle par rapport au projet de construction : en cas de tracé non conforme au résultat attendu il peut y avoir remise en cause de la procédureet retour à la théorie.

Mais dans les phases d'expérimentation tout tracé d'un graphe de fonction polynome de degré 3 peut donner un type de fonction pouvant être utilisé pour remplir le tableau des réponses sans retour sur la procédure. La contrainte de réalisation de la tâche peut induire un tel comportement.

Types de tâche induits par la consigne "pourquoi?"

On peut remarquer que la demande "Pourquoi" peut être interprétée de deux façons correspondant aux deux utilisations ci dessus des réponses de l'ordinateur :"à partir de quelle stratégie avez vous proposé cet exemple" et "pourquoi l'exemple obtenu est-il déclaré du type qui lui ressemble". Explicitons les.

Première interprétation : à partir de quelle stratégie avez vous proposé cet exemple?

Dans cette interprétation, l'élève est amené à expliciter les éléments de référence lui permettant d'anticiper le type. C'est la raison de la présence de ce pourquoi! Néanmoins l'analyse préalable laissait penser que les élèves utiliseraient plutôt l'autre sens ci dessous. Ce travail sur l'anticipation était prévu par le professeur pour une seconde séance en classe entière l'après midi à des fins d'institutionnalisation.

Seconde interprétation : pourquoi l'exemple obtenu est-il déclaré du type qui lui ressemble?

La réponse naïve : "parce qu'il lui ressemble", est évidemment proscrite par contrat! Cette seconde interprétation appelle à expliciter les corrélations entre l'allure du graphe d'un exemple obtenu par les élèves et le type auquel ils le rapportent. Cette interprétation porte un danger de cercle vicieux :

1-on trace le graphe d'une fonction du troisième degré ;

2- de la forme du graphe on induit le tableau de variation de la fonction et les signes de sa dérivée par application de P1 et P '1;

3-la forme du graphe est justifiée par les propriétés de la fonction décrite par le tableau obtenu.

Pour éviter le cercle vicieux il faudrait faire l'étude théorique du signe de la dérivée et construire le tableau par la méthode standart.

Dans tous les cas, il est nécessaire d'induire que le type attendu par le professeur est caractérisé par le signe et la nullité éventuelle de la dérivée en un ou deux points. Ces caractéristiques étant à déduire de la forme des graphes proposés. Autrement dit, le "pourquoi" vise surtout à faire expliciter par les élèves les critères pertinents en terme de dérivée pour classer les types de fonctions du troisième degré.

Notons enfin que la nécessité d 'une justification induite par la feuille de réponse ne facilite pas l'attention à l'aspect algébrique de l'expression d'une preuve dans la mesure où c'est la perception de la réponse graphique attendue et/ou obtenue qui guide la justification.

Les rapports des élèves à la tâche et au savoir

Les élèves prennent en charge la résolution de la tâche qui n'implique pas forcément l'engagement de leur responsabilité au niveau de la justification théorique des connaisances utilisées. La question "pourquoi" est d'ailleurs à cet égard trés ambigue comme cela a été noté. Elle avait été proposée pour recueillir de l'information sur la façon dont les élèves validaient : visuellement ou par recours à de la théorie.

De ce point de vue comme le note (Artigue Michèle (1995), Une recherche sur le logiciel DERIVE, Rapport, Cahier de DIDIREM, n° spécial n°3, p. 204) un contrat spécifique est nécessaire pour que les élèves mobilisent systématiquement la théorie à leur disposition "La validation intellectuelle ne se situe pas dans la continuité de l'action et si cette dernière offre des modes de validation pragmatiques suffisamment convaincants, elle a peu de chances d'intervenir spontanément tant que le registre de l'action ne se trouve pas épuisé."

Pour la séquence étudiée il faudra trois rétroactions négatives avant que la règle P6 soit remise en cause.

Dans cette séquence, les rapports à la tâche et au savoir de chacun des élèves sont plusieurs fois différents. Si les deux élèves travaillent parfois ensemble à élaborer diverses stratégies pour fabriquer des exemples correspondants aux types qu'ils choisissent, leur attitude diverge sur la conduite à tenir en cas d'échec de la stratégie. En général, E1 est plutôt guidé par le désir de remplir la feuille de réponse en utilisant de façon opportuniste les résultats obtenus, qu'ils soient conformes ou non à ce que la stratégie laissait attendre. Par contre E2 veut davantage avoir une stratégie gagnante et attache beaucoup d'importance à comprendre pourquoi sa stratégie ne donne pas les résultats attendus.

Comparaison des diverses réponses suivant l'accord du résultat avec la stratégie

Résumons les diverses réponses telles qu'elles sont successivement écrites par les élèves, même si elles sont ensuite effacées.

Réponse 1
type 2

f '(x) = 3x2 + 2x +1
f(x) = x3 +x2 + x + 2

foncQ croissante, donc sa dérivée doit toujours être positive. la dérivée est donc une fonction paire avec un coeff dir positif.

Réponse 2
Type 6

f(x) = -x3 +x2 + x + 2

foncQ décroissante, donc sa dérivée est toujours négative. pour cela on prend comme coefficient directeur d'une fonction du second degré un coefficient négatif
f '(x) = -3x2 + 2x +1
donc f(x) = -x3 +x2 + x + 2

Dans ces deux réponses . Les explications explicitent une stratégie en mettant en évidence les critères retenus pour la construction de l'exemple.

Dans la réponse 1, la première partie du texte "foncQ croissante, donc sa dérivée doit toujours être positive" explicite les aspects retenus du type 2. La seconde partie du texte "la dérivée est donc une fonction paire avec un coeff dir positif" renvoie au trinome écrit dans l'exemple d'où est déduit la fonction cherchée.

Dans la réponse 2, on note la même répartition du texte en deux parties. D'abord l'explicitation totale de P '1 pour le critère de choix de la dérivée, ensuite l'utilisation explicite de P6 pour construire la dérivée, d'où est déduite la fonction.

Comme la réponse 2 est écrite avant l'affichage du graphe qui d'ailleurs l'invalidera, ses explications ne s'appuient pas sur la lecture de la fonction donnée comme exemple.

La réponse 2 est effacée lorsque l'affichage du graphe l'invalide.

Voici maintenant les autres réponses qui n'ont plus la même structure.

Réponse 3
type 5

f(x) = -x3 +x2 + x + 2

si le coefficient directeur de la dérivée est négatif donc sa courbe sera décroissante croissante décroissante car le signe de f prime de x sera positif négatif positif négatif

Réponse 4
type 5

 

f '(x)= -3x2 + 3

f(x)= -x3 + 3x

Si le coeff directeur de la dérivée est négatif, la fonction f '(x) prend le signe de a à l'extérieur des racines, ici négatif donc la fonction sera décroissante croissante décroissante"

Réponse 5
type 4

 

f(x) = -x3

f '(x) = -3x2

f(x) a une racine qui est 0
f(x) passe par l'origine elle est décroissante constante décroissante

La structure à deux niveaux des deux réponses précédentes n'est plus présente ici. Il n'y a que la seconde partie qui est relative à l'exemple proposé. La justification de l'exemple se fait alors par rapport à lui même à partir de son graphe avec en plus l'utilisation de P7 pour les réponses 3 et 4. Voici comment E1 explique les valeurs du signe de la dérivée lorsque la première fonction de type 5 s'affiche:

E1 : regarde ça fera / négatif positif négatif (.) /

E2 : pourquoi (?)

E3 : parce que si le coefficient directeur il est négatif le signe de sa dérivée il sera négatif après il sera positif après c'est négatif

L'élève E1 cherche une relation entre l'allure du graphe, le coéfficient dominant négatif et le résultat qu'il connait sur le signe du trinome.

E1 : son signe(:::) sera au début le signe de a du coefficient directeur donc ça fera si elle a deux solutions x1 x2 puisque c'est une cos c'est ee ça fera négatif positif.

Il y a réorganisation des significations à partir de la perception graphique comme référence, mais il n'y a plus d'organisation déductive explicite de la justification du type trouvé. Il n'y a pas non plus de tentative d'étudier algébriquement la fonction f. L'affichage du graphe donne à voir ce qui est à justifier. Faute d'une argumentation justifiant la construction a priori de ce qui est montré, le discours est induit à être descriptif. C'est une situation analogue à celle des débuts de la démonstration en géométrie où la figure montre souvent réalisée la propriété à prouver.

ANNEXE : Description du travail des élèves

Première séquence : tracé d'une fonction ayant un graphe de type 2.

Les élèves choisissent de chercher une fonction de type 2. Ils utilisent pour celà successivement P1et P2 pour avoir comme dérivée un trinome toujours positif. Ils arrivent laborieusement à 3x2+ 2x +1, mais sans vérifier explicitement que ce trinome n'a pas de racine. Ils font tracer ensuite le graphe de ce trinome et réalisent qu'il s'agit de la dérivée de la fonction cherchée. Ils vont ensuite entrer sur l'ordinateur la fonction f(x)=x3+x2+ x +2 et en faire tracer le graphe.

Le choix d'une telle fonction peut être induit par deux choses : les exemples de polynomes vus en classe et le fait que la consigne mentionne fonction polynôme alors que x3 est un monôme, la propriété P8 incitant alors à prendre un polynome ayant pour chaque rang le terme le plus simple possible. Ce que montre effectivement la construction par les élèves du trinome dérivé.

Pendant le temps nécessaire à l'affichage du graphe, ils cherchent à trouver une fonction ayant un graphe de type 6 "symétrique" du type 2. ils utilisent pour celà P5 et P6. Ils rencontrent l'obstacle consistant à distinguer sur les représentations graphiques entre le signe de f et le signe de f '.

C'est alors qu'arrive l'affichage du graphe de f(x). Si l'allure générale est comparable au type 2 de l'énoncé, il n'y a pas superposition, ce qui fait douter E2 ("ouais mais elle penche moins elle est plus... elle est plus refermée"). Il y a indécision sur le terme "illustrant chacune de ces courbes" de l'énoncé et le statut des six formes : gabarits ou forme générique en un sens implicite? Un appel au professeur permet de confirmer la validité du résultat. Les élèves rédigent alors leur première réponse (la typographie est celle des élèves):

Première réponse : type 2

TYPES

EXEMPLES PROPOSES

POURQUOI ?

2

f '(x) = 3x2 + 2x +1

f(x) = x3 +x2 + x + 2

foncQ croissante, donc sa dérivée doit toujours être positive. la dérivée est donc une fonction paire avec un coeff dir positif.

Seconde séquence : fabriquer un exemple de type 6 par application de P6 au type 2 trouvé

Les types 2 et 6 sont "symétriques au sens des élèves. Après un temps de recherche pour fabriquer le type 6 à partir du type 2 les élèves utilisent d'un commun accord le changement de signe du coéfficient dominant de la dérivée (Propriété P6), E1 propose de "prendre le coefficient directeur négatif". E2 se met alors à écrire en disant :"On prend l'inverse f '(x) = -3x2 + 2x +1 donc implique f(x) = -x3 +x2 + x +2 etc... ". Ensuite E1 et E2 font tracer le graphe de cette fonction. En attendant le tracé ils remplissent la feuille de réponse; E1 écrit sous la dictée de E2:

Réponse 2 : type 6

Type 6

f(x) = -x3 +x2 + x + 2

foncQ décroissante, donc sa dérivée est toujours négative. pour cela on prend comme coefficient directeur d'une fonction du second degré un coefficient négatif
f '(x) = -3x2 + 2x +1
donc f(x) = -x3 +x2 + x + 2

(Ce texte sera effacé après un affichage du tracé non conforme aux attentes). Pendant le temps d'attente de ce ce tracé, E1 dit au professeur : "monsieur je vais dire la même chose que ma voisine c'est long mais on fait à l'écrit mais [à l'ordinateur] c'est pour juste voir comment ça dessine". Mais le traçé qui arrive juste à ce moment là ne correspond pas du tout à la courbe attendue :

y = x3 +x2 + x + 2

 


y = -x3 +x2 + x + 2

Troisième séquence : justification ad hoc du résultat obtenu

Le tracé montre aux élèves que la fonction -x3 +x2 + x + 2 est en fait de type 5 , Cette anomalie amène des réactions divergentes. L'élève E2 est désemparé alors que E1 va s'emparer du résultat. L'élève E1, après avoir effacé la seconde réponse ci dessus, va produire minutieusement une justification du type 5 en utilisant la propriété P7. Pendant ce temps E2 cherche "une fonction négative tout le long" pour construire un type 6. Un échange a lieu pour chercher une fonction toujours négative, diverses expressions sont nommées -3x, -x3+1, -x+3 . Finalement c'est E2 tout seul qui va faire tracer -x3 + 3x . La raison de l'obtention de cette fonction n'apparait pas explicitement dans les échanges entre élèves à ce moment là. Les fonctions de cette liste ont en commun d'avoir un terme de plus haut degré négatif obtenu en utilisant P6 systématiquement. Le degré deux semble arriver car il s'agit d'obtenir un trinome. A un seul moment le signe du trinome -3x2 + 3 semble évoqué dans le soliloque de E2 qui dit "qui est toujours né. oui!", avec "né" pour négatif sans doute. Cependant le fait que ci dessous (séquences 4 et 5) E2 continue à chercher un trinome toujours négatif fait douter de cette possibilité. Pendant que E2 travaille seul pour trouver sa fonction, E1 rédige avec emphase ("putain on met une tonne d'explications ") sous l'ironie de E2 ("ouais et que ce soit clair au moins "). Puis E1 lit ce qu'il a écrit sur la feuille de réponse au "pourquoi" pour le type 5:

Réponse 3 : type 5, premier exemple

5

f(x) = -x3 +x2 + x + 2

si le coefficient directeur de la dérivée est négatif donc sa courbe sera décroissante croissante décroissante car le signe de f prime de x sera positif ne négatif positif négatif

L'échange qui a lieu juste après la lecture de cette explication par E1 montre le scepticisme des élèves, E1 ne semblant pas croire à sa propre explication!

E2 : oula oula oula

E1 : ce charabia .

E2 reproche à E1 de ne pas avoir mentionné explicitement la propriété P7 relative au signe du trinome, pour celà E1 efface cet exemple. C'est le nouveau type 5 qui s'affiche à ce moment qui sera finalement gardé sur la feuille de réponse.

Quatrième séquence : le graphe de -x3 + 3x est du type 5

C'est après l'effacement de cette troisième réponse que s'affiche le graphe de -x3 + 3x demandé par E2 qui présumait le type 6 . Mais le graphe est du type 5!

y= -x3 + 3x

 

E1 s'empare aussitôt de la réponse fournie par le nouveau graphe au désespoir de E2 qui veut comprendre. Elles rédigent cependant ensemble l'explication pour justifier le type 5 de y = -x3 + 3x.

Réponse 4 : f(x)= -x3 + 3x est de type 5

type 5

f '(x)= -3x2 + 3

f(x)= -x3 + 3x

Si le coeff directeur de la dérivée est négatif, la fonction f '(x) prend le signe de a à l'extérieur des racines, ici négatif donc la fonction sera décroissante croissante décroissante"

Avant de retourner à la recherche du type 6, E2 propose de faire tracer x3 +3x qui est présumé du type 3 par application de P6 à -x3+3x qui est de type 5. Les deux élèves travaillent en commun sur le micro pour tracer le graphe de x3+3x. En attendant l'affichage ils reviennent à la recherche du type 6. Cela produit une forte collaboration entre les élèves qui se focalisent sur la reformulation et la compréhension du fait que la dérivée doit être toujours négative de moins l'infini à plus l'infini.

E1 : ça sera négatif là ... alors c'est type ...6.. .et ça fera ça donnera ça ...faut que sa dérivée elle soit négatif complètement négatif strictement négatif

et plus loin E2 reprend :

E2 : une fonction du second degré qui est toujours négative / quelle que soit la valeur.

Séquence 5 : x3+ 3 x n'est pas de type 3 mais de type 2, remise en cause de P6

Les élèves sont interrompus par l'affichage de x3 +3x , qui produit une double surprise. la première est que la courbe est assez différente des formes de l'énoncé(plus proche de la verticale). Il y a alors un premier souci commun de reconnaître de quoi il s'agit puis de l'utiliser : E1 reconnait le type 2, E2 acquiesce et puis arrive la seconde surprise, ils réalisent ensemble que ce n'est pas le type attendu, ce qui leur fait remettre en cause la validité de la propriété P6.

E1 : donc faut pas que ça soit l'inverse/ faut pas que ça soit négatif les négatifs

E2 : non faut pas jouer avec l'inverse

Cette découverte relance le travail sur la tâche interrompue : trouver explicitement un trinome qui soit toujours négatif.

Séquence 6: trouver un trinome qui soit toujours négatif, remise en cause de P8

L'élève E1 a l'idée d'utiliser comme fonction toujours négative " -x3 tout seul sans les x", ce qui laisse E2 perplexe "-x 3 c'est une fonction ça?". Pour le convaincre, E1 demande l'affichage du graphe de -x 3. Ce graphe est évidemment de type 4. Cela réjouit E1 qui s'empresse de trouver une explication. Dans son souci d'expliquer à E2 pourquoi le graphe de f(x)= -x 3 est obligé de passer par l'origine, il cherche avec E2 les racines de -3x2 = 0 à l'aide de la formule utilisant le discriminant b2-4ac.Ils trouvent ensemble zéro comme seule racine!

Les échanges entre les élèves pendant la dernière rédaction montrent la persistance de la confusion entre f et f '. Cette rédaction est faite dans le brouhaha de la fin de séance.

Réponse 5 : -3x2 est de type 4

type 4

f(x) = -x3

f '(x) = -3x2

f(x) a une racine qui est 0 f(x) passe par l'origine elle est décroissante constante décroissante