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Voir aussi une
présentation de son ouvrage par Netz
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Une note de lecture par
Gilbert
Arsac
Ce livre renouvelle de manière surprenante nos
connaissances sur le raisonnement dans les
mathématiques grecques classiques, celles d'Euclide,
Apollonius et Archimède, mais non celles de
Diophante. Ce renouvellement est dû au fait que
l'auteur revient au texte grec original. La lecture de
l'ouvrage montre en effet combien les traductions que nous
connaissons sont nécessairement en grande partie des
réinterprétations qui amènent à
sous-estimer la distance entre les mathématiques
grecques et les nôtres.
Notons pour le lecteur non anglophone que
le style de Netz n'est pas très simple et qu'il faut
disposer d'un dictionnaire donnant un mimimum de
renseignements sur le vocabulaire technique de la
linguistique (Robert et Collins suffit) pour comprendre cet
ouvrage dont je rends compte maintenant chapitre par
chapitre.
Le chapitre 1 est
consacré au rôle des diagrammes dans la
mathématique grecque. Cette étude est hardie
puisqu'on ne connaît les textes grecs que par des
éditions tardives dont les diagrammes d'origine ont
disparu et qu'on pourrait donc penser qu'il s'agit en
quelque sorte de reconstituer un squelette à partir
de quelques os. Ici il s'agit de restituer la fonction du
diagramme à partir du rôle qu'il joue dans le
texte en utilisant des méthodes d'analyse qui
amènent à des résultats
convaincants.
L'auteur montre tout d'abord que le texte
mathématique suppose toujours que le lecteur dispose
du diagramme (y compris en arithmétique) : certaines
assertions sont lues sur le diagramme, certaines lettres,
repérant des objets géométriques dans
le diagramme, ne sont pas définies dans le texte.
Ainsi "la pragmatique du texte est donnée par le
diagramme. Il constitue le contexte, l'ensemble des
présuppositions gouvernant le discours"..."Il y a de
nombreuses manières de montrer que le principe
guidant le déroulement de la preuve est spatial
plutôt que logique" (p. 30). Du point de vue
mathématique, on sait d'ailleurs que les propositions
géométriques grecques ne concernent pas
l'espace, lequel n'est conceptualisé par les
mathématiciens que vers la fin du dix-neuvième
siècle, mais qu'elles possèdent chacune son
propre univers, qui est celui du diagramme. Dans les
mathématiques grecques, les diagrammes sont en
bijection avec les propositions, qu'ils peuvent d'ailleurs
désigner par métonymie, y compris en
arithmétique.
Un diagramme comporte des lettres et ici
l'auteur nous surprend en montrant que les lettres sont des
repères dans l'objet matériel qu'est le
diagramme, qui permettent de situer l'endroit dont on parle
et l'objet dont il est question, mais qui ne
représentent pas des points : quand nous lisons dans
une traduction "le point A", qui dans l'original grec est
plutôt "le A", il s'agit du point qui est le plus
près de la lettre A sur le diagramme. Autrement dit,
il n'y a chez les Grecs, derrière cette notation,
aucune amorce de l'idée de variable. Ceci explique
qu'une même lettre puisse désigner des objets
de nature différente situés dans la même
région du diagramme.
Au total, le diagramme et le texte qui
l'accompagne forment à eux deux un ensemble qui
assure l'autonomie et ce que l'on pourrait appeler une
certaine clôture des mathématiques : le texte
porte sur le diagramme, lequel éclaire le texte. Le
fonctionnement pratique de l'ensemble ne suppose pas
fixée une ontologie des objets
mathématiques.
Le chapitre 2 précise
la pragmatique des lettres en montrant que leur usage chez
les mathématiciens relève de règles
bien fixées. Désignant soit des objets, soit
des extrémités d'objets qui se combineront
plus tard, elles sont distribuées
généralement dans l'ordre alphabétique,
sans qu'aucune hérite d'un rôle plus
spécial (contrairement à la pratique actuelle
où si possible, H est l'orthocentre ou le pied d'une
hauteur dans un triangle). Le fait qu'elles ne soient que
des indices de position rend évident par exemple le
fait que AB désigne le même segment que BA :
ceci se voit sur le diagramme.
En conclusion, Netz reconstitue de la
façon suivante la pratique du mathématicien :
dans un premier temps celui-ci trace le diagramme, y adjoint
des lettres et met au point une preuve orale. Dans un
deuxième temps, celle-ci est écrite, ou
plutôt dictée. On obtient ainsi un texte qui,
non retravaillé, garde de nombreuses traces
d'oralité.
Le chapitre 3 est
consacré au lexique. D'après Netz, les
définitions d'Euclide ne sont telles que par la vertu
des traductions; elles sont en fait un texte introductif "de
deuxième niveau", un commentaire sur les
mathématiques. Elles n'ont aucune utilité
interne dans le texte proprement mathématique dont la
plupart des mots ne sont pas définis
préalablement mais manipulés suivant des
règles précises à travers des formules.
En fait, les définitions précisent de quoi on
parle et sont plutôt des axiomes au sens moderne.
Au total le lexique mathématique
grec est très pauvre et désigne chaque concept
par un mot unique : même si des synonymes de ce mot
existent dans la langue grecque, ils n'apparaîtront
jamais dans la langue mathématique. En revanche, il
existe des synonymes dans le vocabulaire de deuxième
niveau qui utilise le grec courant, et il existe des
homonymes, mais entre théories différentes
(par exemple l'ellipse, l'hyperbole et la parabole
désignent les trois coniques mais aussi trois types
de problèmes d'"application des aires", qui de notre
point de vue sont des "problèmes du second
degré").
Ces caractéristiques de
rigidité et de fermeture du texte mathématique
grec sont uniques et ne se retrouvent par exemple ni en
anatomie, ni en philosophie, ce qui refléte en
particulier l'absence d'accord dans ces disciplines sur ce
qui serait une science normale au sens de Kuhn, alors que ce
consensus existe en mathématique et là
seulement.
Le chapitre 4 est
consacré aux formules
stéréotypées dans lesquelles sont
souvent enchâssés les mots du vocabulaire
(pauvre) mathématique. Du point de vue
théorique une formule est définie, soit comme
"semantically marked" c'est-à-dire qu'elle est
utilisée systématiquement à l'exclusion
de toute expression équivalente ou bien que son sens
ne se déduit pas de celui de ses composantes, soit
par sa fréquence d'emploi, sa
répétition systématique. Exemples: "le
(article neutre) A" (= le point A), "la (article
féminin) AB" (=la droite AB) "un (neutre) AB" (l'aire
AB).
Ces formules se retrouvent dans tous les
textes mathématiques indépendamment des
auteurs et donc de l'époque, et même quand le
contexte ne permet pas de retrouver leur signification. Par
combinaison de formules, on peut bâtir de nouvelles
formules et des formules figurent aussi dans le langage de
deuxième niveau (annonçant par exemple le
passage de l'analyse à la synthèse). Pour les
Grecs, un résultat général valide une
"matrice" de formule, on pourra le réutiliser, non
pas en y faisant référence ou en rappelant son
énoncé, mais en reproduisant la matrice
complétée en fonction du contexte
d'application.
Comment ont été
formées les formules ? Par fixation progressive "What
makes a formula is the fact that an author chooses to use
the same expression again and again, and then another author
comes and use it again". Elles constituent un système
"rule governed, open-ended".
Dans une proposition donnée et
surtout sa démonstration, la proportion entre langage
courant et formules est assez variable. On peut retenir
qu'il apparaît de dix à vingt formules par
proposition et que le nombre total de formules de la
mathématique grecque est de l'ordre de quelques
centaines.
Les formules ont les
propriétés suivantes : elles conduisent
à un lexique mathématique concis et donc
facile à dominer, elles reflètent les
propriétés logiques des objets dont elles
parlent, la hiérarchie interne et externe entre
formules, rend évidentes les relations logiques entre
leurs contenus, elles sont un moyen de transférer des
résultats, une fois enchassés dans une
formule, d'une proposition à une autre, enfin elles
sont à la base du caractère
général des propositions.
Exemple de formule : "comme AB est
à CD, ainsi EF est à GH, donc,
alternativement, comme AB est à EF, ainsi CD est
à GH" (échange des moyens dans une
proportion). Commentaire de Netz : "the expression
represents a proved result, this is why it is valid. But it
is immediately convincing (which is what deduction requires)
not because it was proved earlier, but it is perceived as a
structured whole. This as two aspects: first, it has the
typical hierarchic structure of formulae; second, it is well
known to its user, and is thus perceived directly, as a
whole (as is true for formulae in general)."
Le chapitre 5 est
consacré à la mise en forme de la
nécessité (shaping of necessity). L'auteur
s'intéresse tout d'abord aux prémisses
(starting-points) c'est-à-dire aux assertions non
argumentées. Dans une démonstration grecque,
on peut dire, à titre d'ordre de grandeur, qu'il y a
une prémisse pour deux assertions argumentées
(35 à 45% des assertions sont des prémisses
sur un corpus de 31 démonstrations, et cette
proportion ne tombe jamais en dessous de 25%). Ces
prémisses sont introduites au fur et à mesure
de leur nécessité, en particulier elles ne
sont pas concentrées au début, en ce sens, la
démonstration n'est pas une déduction à
partir de prémisses fournies par les
hypothèses initiales. Certaines sont des
prémisses relatives en ce sens que leur
vérité est connue par ailleurs, même si
elle n'est pas argumentée sur le moment, les autres
sont des prémisses absolues. Les prémisses
relatives comportent parfois des références
explicites (rarissimes), ou bien sont prises sans
commentaire dans une "boîte à outils" commune
à tous les mathématiciens, ou bien supposent
un raisonnement qui n'est pas explicité et est
laissé à la charge du lecteur (dans une
rédaction moderne, on écrirait
éventuellement que "par un raisonnement
évident on montre que") ; les prémisses
absolues sont les hypothèses particulières
à la proposition en cours de démonstration,
les propriétés lues sur le diagramme, et les
évidences ou intuitions directes, dont une
minorité seulement figurent comme axiomes explicites
chez Euclide. L'auteur étudie en détail ces
diverses catégories.
Il passe ensuite aux arguments, lesquels
sont signalés par un marqueur linguistique (par
conséquent, puisque...). On peut les classer suivant
les mêmes catégories que les prémisses :
références explicites (rarissimes) à un
résultat général, utilisation du
diagramme mais moins fondamentale que pour les
prémisses, intuition. Celle-ci intervient en
général quand le mathématicien grec
considère comme évidemment licites des
substitutions dont la validité repose sur le fait
qu'il travaille sur des relations d'équivalence
(comme l'"égalité"), ou d'ordre, compatibles
avec certaines opérations et toutes transitives. Ce
type d'arguments tient une très grande place dans les
raisonnements.
L'organisation globale des
matériaux ci-dessus en une démonstration est
ensuite étudiée. L'auteur rappelle d'abord que
la rédaction de la démonstration tient compte
du fait que le lecteur est supposé avoir le diagramme
sous les yeux. Ensuite, l'organisation est linéaire
autant que faire se peut, elle donne toutes les clés
de la déduction, aucun discours justificatif
supplémentaire n'est nécessaire.
Le chapitre se termine par l'étude
de la boîte à outils du mathématicien
grec. Au point de vue conceptuel, il s'agit des
éléments d'Euclide, sauf les livres IV, X,
XIII. Bien entendu, le mathématicien grec retenait le
contenu, pas le détail des énoncés,
puisque les rares références explicites
renvoient en général à l'ouvrage
où elles figurent, et le citait sous forme de
formules.
Au total, la démonstration grecque
se caractérise par une forme langagière
extrêmement rigide. La fidélité d'un
raisonnement à cette forme le rend convaincant pour
l'auditoire pourvu qu'il soit mathématicien. Cette
rigidité peut expliquer aussi l'arrêt du
développement des mathématiques grecques
après Archimède et Apollonius.
Le chapitre 6 attaque le
problème de la généralité (the
shaping of generality). Comment une démonstration sur
un cas particulier (on a fixé un certain diagramme)
peut-elle prouver en général ? L'auteur
rappelle la structure de la démonstration euclidienne
:
- protasis : c'est l'énoncé
général du type : "dans tout triangle, un
des côtés étant prolongé,
l'angle extérieur est plus grand que chacun des
angles intérieurs et opposés" (Euclide,
livre I, propo 16). On peut le symboliser comme Netz par
C(x) P(x) (dans l'exemple, la variable x est le triangle
ou l'angle extérieur, cette notation est
évidemment complètement anachronique).
- esthesis : C(a), je dis que (diorismos) P(a).
Par exemple : "Soit le triangle ABC, et que l'un des
côtés, BC, soit prolongé au
delà jusqu'au point D. Je dis que l'angle
extérieur, celui sous ACD, est plus grand que
chacun des angles intérieurs et opposés,
ceux sous CBA, BAC". Autrement dit Euclide particularise
l'énoncé pour une valeur a de x.
- kataskeue+apodeixis : suit la
démonstration qui commence par une suite de
constructions C(b),..., C(n), et se poursuit par une
suite de propriétés aboutissant à la
propriété cherchée :
P(b),...,P(a).
- sumperasma : Donc C(x) P(x). Par exemple : donc
dans tout triangle, un des côtés
étant prolongé, l'angle extérieur
est plus grand que chacun des angles intérieurs et
opposés. Ce qu'il fallait démontrer.
L'auteur interprète ainsi, après Mueller,
cette structure particulière de la
démonstration grecque : Euclide voit bien le
problème du passage de C(a) P(a) à x, C(x)
P(x) (en notation moderne) et le résout en montrant
que P(a) peut être démontré à
partir de C(a) et que cette démonstration peut
être répétée, sans modification
langagière, pour tout choix autre que a. C'est la
certitude de cette possibilité qui amène
Euclide à répéter explicitement
(sumperasma) ce qui figurait au départ
(protasis) et à le tenir pour vrai alors que
la démonstration n'a porté que sur un cas
particulier.
En arithmétique, la phase
sumperasma disparaît. Ceci prouve
d'après Netz qu'Euclide était conscient que
dans ce cas le raisonnement, qui consiste dans l'examen du
cas d'un nombre particulier, ne pouvait pas logiquement
établir vraiment la proposition dans toute sa
généralité En fait, les preuves
arithmétiques grecques sont faites sur un exemple
numérique suffisamment grand, et conduisent
d'après l'auteur à conjecturer la
validité générale du résultat
mais sans l'assurance qui apparaît en
géométrie.
En conclusion de cette analyse du
raisonnement, Netz souligne que la démonstration
grecque est un élément de la pratique
mathématique, non l'application d'une théorie
métamathématique: "the two aspects of
deduction, that of necessity and that of generality were
shaped in greek mathematics from a certain cognitive
background (and not from a certain metamathematical
theory)."
Le chapitre 7 aborde la
question du contexte historique. Ce chapitre passionnant du
point de vue historique est toutefois moins directement
relié aux préoccupations des didacticiens.
L'auteur étudie la démographie des
mathématiciens, leur place dans la
société, l'époque d'apparition des
mathématiques telles qu'elles viennent d'être
étudiées, la distance prise par les
mathématiciens vis-à-vis d'applications
éventuelles. Il conclut que les mathématiques
grecques étaient une pratique culturelle dans
laquelle la forme était dominante. C'est elle qui
inspirait le respect, avec son argumentation
irréfutable, alors que le fond (l'étude des
nombres et de la géométrie) pouvait
paraître suspect pour l'élite grecque par sa
proximité avec le monde matériel.
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