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1. Introducción
Se observa en la actualidad un interés creciente
en Educación Matemática por la
problemática de la enseñanza y aprendizaje de
la prueba (Hanna, 1995; 1996). Las publicaciones sobre el
tema se han incrementado en los últimos cinco
años (véase el número
monográfico de Educational Studies in Mathematics,
1993), aunque también encontramos aportaciones
relevantes desde la década de los setenta (Lester,
1975; Bell, 1976; Fischbein, 1982; Balacheff, 1987;
etc.)
Este interés parece justificado por
el papel esencial de las situaciones y procesos de
validación en la propia matemática, y el bajo
nivel que muestran los estudiantes en la comprensión
y elaboración de pruebas (Williams, 1980; Senk, 1985;
Recio y Godino, 1996, Harel y Sowder, en prensa).
Pensamos, sin embargo, que los esfuerzos
de clarificación realizados en el campo sobre la
propia noción de prueba matemática, sus
distintas tipologías y relaciones mutuas son
insuficientes. En particular, una idea de
demostración, entendida de un modo rígido y
absoluto en el seno de la comunidad matemática,
parece como la única concepción posible y
digna de tenerse en cuenta. Consideramos que es necesario
realizar un estudio sistemático sobre los diversos
significados de 'prueba', no solo desde el punto de vista
subjetivo, sino también en distintos contextos
institucionales. Este estudio podría facilitar la
comparación de las aportaciones de distintas
investigaciones, poner al descubierto nuevas cuestiones de
investigación, aportar interpretaciones alternativas
de las dificultades de los estudiantes y elaborar propuestas
de intervención didáctica fundamentadas.
En este trabajo vamos a tratar de analizar
las diferencias de significado de la idea de prueba en
distintos contextos institucionales, usando el marco
teórico sobre los objetos matemáticos y sus
significados desarrollado en Godino y Batanero (1994) y
Godino (1996). En este caso implica adoptar las situaciones
de validación y las prácticas argumentativas
correspondientes como nociones primitivas, de las cuales se
derivan las nociones de prueba como emergentes de los
sistemas de prácticas argumentativas, distinguiendo,
además, entre sus dimensiones institucionales y
personales.
2. Situaciones de
validación y prácticas
argumentativas
La palabra 'prueba' se utiliza en distintos contextos con
diversos sentidos. A veces estos diversos sentidos y matices
se reconocen mediante el uso de términos tales como
'explicación', 'argumentación',
'demostración', etc. Aunque en todos ellos se pueda
reconocer una idea común, - la de justificar o
validar una afirmación (tesis) aportando razones o
argumentos- sin embargo, las diferencias en los tipos de
situaciones en que se usan, sus rasgos
característicos y los recursos expresivos puestos en
juego en cada caso pueden ser de hecho diferentes. Estas
diferencias en las situaciones y prácticas
argumentativas indican sentidos distintos del concepto de
prueba, o bien diversos "objetos prueba" según
nuestro modelo ontosemántico.
En este trabajo utilizaremos el
término de 'prueba' para referirnos de modo
genérico al objeto emergente del sistema de
prácticas argumentativas (o argumentos) aceptadas en
el seno de una comunidad, o por una persona, ante
situaciones de validación y decisión, esto es,
situaciones que requieren justificar el carácter de
verdadero de un enunciado, o la eficacia de una
acción.
Una distinción importante es la que
hace Krummeheuer (1995), siguiendo a Toulmin, entre
argumentos analíticos y sustanciales. Los primeros
son característicos de las deducciones lógicas
correctas, siendo tautológicas, esto es, un aspecto
latente de las premisas se elabora visiblemente, pero no
añaden nada a la conclusión que no fuera ya
una parte potencial de las premisas. Los argumentos
sustanciales, por el contrario, expanden el significado de
las proposiciones en la medida en que relacionan
apropiadamente un caso específico a ellas por
actualización, modificación, y o
aplicación.
Desde un punto de vista cognitivo, las
relaciones entre razonamiento y prácticas
argumentativas consideramos que son las que se establecen
entre un constructo y sus indicadores empíricos.
Balacheff (1987, p. 148) define el razonamiento como la
"actividad intelectual, la mayor parte del tiempo no
explícita, de manipulación de informaciones
para producir nuevas informaciones a partir de datos". Desde
nuestro punto de vista esta actividad intelectual da origen
a las prácticas argumentativas, personales o
institucionales, que constituyen su dimensión
ostensiva, comunicacional. Al mismo tiempo el razonamiento
se desarrolla por medio de dichas prácticas, de modo
que el estudio del razonamiento está
constitutivamente ligado al estudio de la
argumentación.
En la siguiente sección trataremos de mostrar que
la característica de una práctica discursiva
de ser una prueba es un atributo esencialmente contextual y
pragmático.
3. Significados de la prueba en
distintos contextos institucionales
Desde un punto de vista cultural Wilder (1981) nos
recuerda que, "we must not forget that what constitutes
'proof' varies from culture to culture, as well as from age
to age" (p. 346).
Nosotros vamos a tratar de mostrar que
esta relatividad debe ampliarse a distintos contextos
institucionales, cuando nos interesamos por los problemas
psicológicos y didácticos implicados en la
enseñanza de la prueba.
Consideraremos que un contexto o marco
institucional es un punto de vista local o perspectiva sobre
una problemática determinada, caracterizada por el
uso de recursos expresivos e instrumentales propios, por
hábitos y normas específicas de
comportamiento. En lo que sigue trataremos de mostrar la
diversidad de pruebas según los contextos
institucionales siguientes: lógica y fundamentos de
las matemáticas, matemática profesional, vida
cotidiana, ciencias experimentales y enseñanza de las
matemáticas elementales (incluyendo aquí los
niveles primarios, secundarios y universitarios). En cada
uno de estos contextos es posible identificar, a su vez,
puntos de vista más locales en los cuales el problema
de la verdad y la prueba adquiere connotaciones
específicas. Sin embargo, consideramos que el nivel
de análisis que hemos adoptado en este trabajo es
suficiente para mostrar la diversidad de 'objetos prueba'
identificables, y en particular que no hay una teoría
y una práctica uniforme firmemente establecida sobre
la prueba matemática.
3.1. Lógica y fundamentos
de las matemáticas
En estos contextos, la veracidad de un teorema descansa
en la validez de las reglas lógicas usadas en la
prueba; el teorema aparece como una consecuencia
lógica y necesaria de las premisas de que parte,
mediante la correspondiente inferencia deductiva. Un
enunciado (o teorema) aceptado como verdadero tiene una
validez universal e intemporal garantizada por la validez de
las reglas lógicas usadas en la prueba.
Interesa también resaltar la
índole de las situaciones problemáticas que se
afrontan en estos contextos. Se trata de justificar, con las
máximas garantías, la verdad del sistema de
proposiciones matemáticas, o al menos una parte del
mismo. Esto implica buscar el sistema mínimo de
axiomas (verdades evidentes por sí mismas),
independientes entre si, no contradictorio y completo, de
tal manera que aplicando las reglas de inferencia
lógica puedan derivarse el resto de las proposiciones
matemáticas. Hay pues una problemática
teórica de organización y
estructuración del cuerpo de conocimientos
matemáticos. Para realizar este trabajo con las
máximas garantias y rigor se requiere el uso de
lenguajes formales.
El objeto 'prueba' en estos contextos
institucionales podemos describirlo sintéticamente
como emergente del sistema de prácticas
argumentativas analíticas formales, y su significado
viene dado por los rasgos intensionales, extensionales y
representacionales descritos.
Esto no significa, no obstante, que
incluso en estos contextos institucionales no se utilizen
argumentaciones de tipo sustancial para justificar
afirmaciones. La aceptación de los axiomas o
postulados de cualquier sistema matemático, se hace
necesariamente mediante argumentaciones intrinsecamente
inductivas. Recordemos a este respecto lo que nos dice
Poincaré (1902):
"¿Cuál es la naturaleza del
razonamiento matemático? ¿Es realmente
deductivo como ordinariamente se cree? Un análisis
profundo nos muestra que no es así; que participa
en una cierta medida de la naturaleza del razonamiento
inductivo, y que por eso es fecundo" (p. 15)
3.2. Matemática
profesional
La noción de 'prueba' difiere obstensible desde el
punto de vista de la lógica formal y estudios
fundacionales matemáticos respecto a la
práctica matemática real.
Las pruebas formales se tornan
extraordinariamente complejas, lo que hace que, para muchas
investigaciones matemáticas, la formalización
completa de las pruebas, incluso aunque fuera posible en
principio, se hace imposible en la práctica.
"Pueden requerir tiempo, paciencia, e
interés más allá de la capacidad de
cualquier matemático humano. Ciertamente, puede
exceder la capacidad de cualquier sistema de
computación disponible o previsible" (Hersh, 1993,
p. 390).
Esto hace, como afirma Resnick (1992), que la
matemática contemporánea esté repleta
de "working proofs", esto es, pruebas informales, no
axiomatizadas.
En el ámbito profesional
matemático, las pruebas son deductivas pero no
formales, se expresan mediante el lenguaje ordinario
completado con el uso de expresiones simbólicas. No
hay un estándar generalmente aceptado del grado de
rigor y sistematización exigible a una prueba
matemática.
La fundamentación de una inferencia
A ---> B no estriba en la existencia de una regla de
transformación que permite pasar de A a B, sino que
se apoya en la significación particular de las
expresiones A y B, interpretada por el matemático que
realiza la inferencia. De este modo, los teoremas
matemáticos pierden de hecho su carácter de
verdades absolutas, necesariamente verdaderas. La
matemática real adquiere un carácter
falibilista, social, convencional, temporal. Esta
situación lleva a Hersh (1993, p. 389) a describir la
prueba en la práctica real del matemático como
"un argumento convincente juzgado como tal por jueces
cualificados".
En cuanto a la problemática
afrontada por el matematico profesional se centra en la
resolución de nuevos problemas, en incrementar el
cuerpo de conocimientos, y en menor medida en la
organización y fundamentación del sistema
completo de las matemáticas. No se requiere el grado
de máxima seguridad características del
trabajo realizado por las personas interesadas por los
fundamentos de las matemáticas.
3.3. Ciencias experimentales y
vida cotidiana
La prueba, en estos contextos, se basa principalmente en
argumentos sustanciales (empírico inductivos,
analógicos, etc. ) por medio de los cuales concluimos
que lo que es verdadero de ciertos individuos de una clase
es verdadero de toda la clase, o que lo que es verdadero
algunas veces, lo será siempre en circuntancias
semejantes, o con una cierta probabilidad. No se descarta el
empleo simultáneo de argumentaciones deductivas, en
particular inferencias estadísticas.
La validez de los enunciados,
- no tiene carácter absoluto y
universal;
- su validez se incrementa a medida que se muestran o
producen más hechos que se ajusten al
enunciado;
- un ejemplo que no se cumpla no invalida completamente
la afirmación.
La prueba pone en juego los recursos expresivos de los
lenguajes ordinario, simbólicos y cualquier tipo de
dispositivos concretos.
En el caso de las ciencias experimentales,
los experimentos u observaciones se hacen con el
máximo cuidado, controlando todos los factores
posibles que pueden influir en el mismo. Asimismo se emplean
recursos simbólicos.
En el razonamiento natural, puesto de
manifiesto en nuestras inferencias cotidianas,
desempeña un papel importante el razonamiento por
analogía. Toda inferencia analógica parte de
la similaridad de dos o más cosas en uno o más
aspectos para concluir la similaridad de esas cosas en
algún otro aspecto.
3.4. La prueba en la clase de
matemáticas
Para los curricula, textos y profesores de
matemáticas de los niveles de enseñanza
primaria, secundaria y universitaria, en general, los
teoremas matemáticos son necesariamente verdaderos.
Pero las argumentaciones que establecen esa verdad son, en
el mejor de los casos, argumentaciones deductivas informales
y con frecuencia argumentaciones no deductivas o incluso
argumentaciones basadas en criterios externos de
autoridad.
La matemática elemental -incluida
la que se enseña en los cursos universitarios-
constituye un cuerpo de conocimiento cuya verdad, en
general, no se pone en duda. Se disponen de distintas
pruebas para los teoremas que son aceptadas por la
generalidad de los matemáticos profesionales.
Constituye, pues, un cuerpo de conocimiento exento del
carácter falibilista que se atribuye a la
'matemática avanzada', o al menos, así se
suele presentar en los textos correspondientes y en las
clases de matemáticas.
En estos contextos institucionales,
particularmente en los niveles superiores, se espera de los
estudiantes que adquieran la capacidad de comprender y
realizar pruebas de teoremas matemáticos, que
establezcan la verdad de los mismos con absoluta seguridad,
convenciéndose a sí mismos y a cualquier
persona de dicha verdad de manera irrefutable.
Se trata de un uso de la prueba
idiosincrático, distinto del que se hace por el
matemático profesional. Este tiene que elaborar
pruebas que convenzan a los referees de las revistas; el
estudiante de matemáticas tiene que convencerse, y
explicar su convencimiento al profesor, de la verdad
necesaria y universal del teorema.
4. Significados personales de la
prueba
Para Harel y Sowder (en prensa) el proceso empleado por
un individuo para suprimir o apartar dudas sobre la verdad
de una conjetura lo llaman prueba. "Un esquema de prueba de
una persona consiste en lo que constituye asegurar y
persuadir para esa persona" (p. 12). Las distintas
categorías de esquemas de prueba que identifican
representan un estadio cognitivo, una habilidad intelectual
en el desarrollo matemático de los estudiantes, y son
derivadas de las acciones realizadas por los sujetos en
procesos de prueba. Distinguen tres categorías
principales de esquemas de prueba: basados en convicciones
externas (ritual, autoritario y simbólico),
empíricos (inductivos y perceptuales) y
analíticos (transformacionales y
axiomáticos).
Para Harel y Sowder la alta incidencia
entre los estudiantes de los tres subtipos de esquemas de
prueba basados en "convicciones externas", así como
el esquema de prueba empírico-inductivo puede
explicarse por la influencia de hábitos escolares en
consonancia con tales tipos de prácticas
argumentativas.
El análisis que hemos presentado en
las secciones anteriores sugiere, en efecto, que en las
clases de matemáticas elementales pueden predominar
las prácticas argumentativas no analíticas,
sobre todo en los niveles de enseñanza primaria y
secundaria. Estas argumentaciones -implementadas de manera
inconsciente por los profesores de matemáticas-
pueden haber sido extrapoladas desde otros contextos
institucionales, como los de la vida cotidiana o de las
ciencias empíricas.
No se debe olvidar, además, el
papel que juegan las formas argumentativas sustanciales en
las fases de búsqueda y formulación de
conjeturas en la resolución de problemas. Los
argumentos analíticos, propios de la prueba
matemática, no son las únicas prácticas
argumentativas que utiliza el matemático profesional
para convencerse de la verdad de sus conjeturas. Este modo
de razonar se revela con frecuencia estéril, cuando
no un estorbo, en las fases de creación/
descubrimiento de las soluciones de los problemas, en las
cuales es lícito y necesario desplegar formas de
argumentación sustanciales, en particular la
inducción empírica y la analogía.
Recordemos las palabras de Polya (1944, p. 116):
"Las matemáticas presentadas con rigor
son una ciencia sistemática, deductiva, pero las
mátemáticas en gestación son una
ciencia experimental, inductiva".
5. Conclusiones e implicaciones
para la investigación y la
enseñanza
Sin duda podemos apreciar algunos rasgos comunes en los
usos de la palabra 'prueba' en los distintos contextos
institucionales descritos, lo que permite hablar de la idea
de prueba en sentido general. Pero este modo de hablar
genérico, abstracto, metafísico, no debe
ocultar la rica y compleja variedad de sentidos que adquiere
el concepto de prueba, o si se prefiere, la diversidad de
'objetos prueba' existentes para los miembros de dichas
instituciones, cada uno con un significado local. Creemos
que cuando estamos interesados por los problemas
psicológicos y didácticos involucrados en los
procesos de validación de proposiciones
matemáticas, interesa considerar que no hay un
concepto de prueba sino diversos, tanto desde el punto de
vista subjetivo como epistemológico (Godino y
Batanero, 1994).
Reconociendo esta diversidad de objetos y
significados estaremos en mejores condiciones de estudiar
los componentes del significado, las circunstancias de su
desarrollo, los papeles que desempeñan en los
distintos contextos, en definitiva, de comprender las
relaciones ecológicas que se establecen entre los
mismos y su carácter sistémico. Esta
modelización ontosemántica puede ayudar a
tomar conciencia de los conflictos cognitivos que se
plantean a todo individuo que se ve forzado a participar
como sujeto en distintos contextos institucionales.
Dado que los estudiantes se encuentran
simultáneamente sujetos a distinta instituciones, en
cuyo seno se ponen en práctica distintos esquemas
argumentativos, parece razonable que los estudiantes tengan
dificultades en discriminar el uso respectivo de cada tipo
de argumentación. En consecuencia, consideramos que
tales esquemas institucionales de prueba pueden ser factores
explicativos de los esquemas subjetivos manifestados, por lo
que deben ser tenidos en cuenta e investigados con
más profundidad.
En los distintos niveles de
enseñanza se precisa articular de algún modo
los distintos significados de la prueba, desarrollando
progresivamente en los estudiantes los conocimientos, la
capacidad discriminativa y la racionalidad que se debe poner
en juego en cada caso. Los esquemas informales de prueba no
pueden ser vistos simplemente como incorrecciones, errores o
deficiencias, sino como etapas en la apropiación y
dominio de las prácticas argumentativas
matemáticas.
La comprensión y dominio de la
argumentación deductiva por parte de los estudiantes
requiere el desarrollo de una racionalidad y un estado
específico de los conocimientos. Exige "la
adhesión a una problemática que no es la de la
eficacia (exigencia de la práctica) sino la del rigor
(exigencia teórica) (Balacheff, 1987, p. 170). Pero
la construcción de esta racionalidad es un proceso
progresivo que requiere tiempo, así como adaptaciones
ecológicas del 'objeto prueba' (transposiciones
didácticas) en los distintos niveles de
enseñanza.
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