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Résumé
Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau
des dernières classes de l'enseignement secondaire
français fait apparaître des variations
importantes à chaque réforme depuis 1962,
variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que
les procédures conseillées par les programmes
et les manuels. Les méthodes
préconisées conditionnent les connaissances
utilisables par les élèves pour effectuer les
tâches prescrites, et l'équilibre connaissances
/ savoirs caractérise la place dévolue
à la validation. Nous étudions les
possibilités d'établir à ce niveau un
rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre
à l'élève de construire des
connaissances appropriées.
Le problème de la validation dans
l'enseignement de l'analyse est envisagé à
travers :
• l'étude de la théorie
mathématique « Analyse », son
organisation, ses méthodes de preuve, et la
formalisation des preuves ;
• la définition de situations
fondamentales du concept de fonction et de limite.
Par ailleurs l'examen des registres et des ostensifs
disponibles pour construire un milieu propre à
l'enseignement des notions de fonction et de limite, fait
apparaître des potentialités non
exploitées dans les registres graphique et
formel.
La confrontation à la contingence se fait
par la construction de situations concernant l'enseignement
des notions de fonction et de limite, et par l'observation
de leur mise en oeuvre. Ceci nous amène à nous
interroger sur les connaissances que le professeur met en
oeuvre pour gérer une situation d'enseignement de
l'analyse comportant une composante a-didactique, et sur une
modélisation possible du milieu du professeur.
Un questionnaire est construit pour
l'étude des connaissances sur l'analyse; son
traitement statistique a pour but de tester
l'effectivité de l'apprentissage. Dans l'enseignement
supérieur, l'étude de transcriptions de cours
et de copies d'élèves permet de s'interroger
sur les connaissances nécessaires à ce niveau,
et sur l'articulation avec l'enseignement secondaire.
En conclusion, nous proposons quelques
pistes de réflexion sur l'équilibre
connaissances / savoirs dans l'enseignement des
débuts d'une théorie mathématique ; cet
équilibre conditionne les possibilités de
validation et, au final, les perspectives d'inscrire
l'apprentissage dans un schéma temporel
macrodidactique.
Mots clés
: Analyse, fonctions,
représentations graphiques, limites; ostensifs
graphiques, ostensifs formels de fonctions ; théorie
des situations et situation fondamentale de l'analyse;
savoirs, connaissances, validation dans l'enseignement de
l'analyse; rôle du professeur, modélisation du
système « enseignant », activité
mathématique enseignant/enseigné.
Abstract
Teaching calculus / analysis at the turning point
between Secondary School and University. Knowledge, knowing
and conditions for validation.
The study of maths curriculum in the last grades of
secondary schools in France along 30 years brings to light
the important variations that, since 1962, have taken place
in the contents of calculus at this level, concerning the
object of teaching as well as the procedures used by pupils
and teachers. The recommended methods affect the knowledge
that pupils are likely to use when doing the given tasks,
and the balance between knowledge and knowing acts upon the
place left to validation. We shall study the possibilities
to establish an actual relationship to the knowledge of
calculus, at this level of teaching, and to allow the pupil
to build appropriate knowing.
The question of validation in teaching
analysis will be studied through the following
directions:
• the mathematical theory; its
organisation; the methods of proofs and the formalization
of evidence;
• the existence of fundamental situations of the
concepts of function and limit.
Besides, the study of the different registers of
representation that are at stake to build a suitable
environment for the teaching of function and limit makes new
potentialities come to light, particularly in the graphic
and formal register.
The confrontation to the contingency is
carried through the building of situations with a-didactical
component that affect the teaching of function and limit,
and through the observation of their implementation. This
makes us first question the knowledge and professional
knowing a teacher uses to manage a teaching situation in
analysis, with an a-didactical component, and then draw a
likely pattern to the teacher's milieu.
We also submit the pupils to a test and
analyse the results with statistic tools so as to test the
effectiveness of learning. The study of lectures and
student's papers questions what knowledge is compulsory at
University level and how to relate it to Secondary
schools.
As a conclusion, we shall suggest some
remarks about the balance between knowledge and knowing in
the teaching of a new mathematical theory; this balance
affects the possibilities of validation and finally, the
future prospects of teaching analysis from Secondary Schools
to University.
Key words : Analysis,
functions, graphical représentations, limits;
graphical ostensive objects, formal ostensive
representations of fonctions ; situations theory and
fundamental situations in analysis; knowing, knowledge,
validation in analysis teaching; role of the teacher,
pattern of the teacher's milieu, mathematical activity of
teacher and pupil.
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