Présentation de l'ouvrage

Le colloque inter-I.R.E.M. de Besançon portait sur l'histoire de la démonstration mathématique. Pourquoi interroger cette histoire ? Parce que situer la démonstration mathématique dans l'histoire est un excellent moyen de réfléchir à la place de la démonstration dans l'enseignement des mathématiques.

En général, dans l'enseignement des mathématiques, on assimile la démonstration au raisonnement déductif, que les programmes demandent d'introduire progressivement chez les élèves de collège. Dès lors, le souci d'enseigner le raisonnement déductif à de jeunes élèves empêche d'apercevoir des problèmes épistémologiques et didactiques essentiels.

Le raisonnement déductif ne peut être enseigné en lui-même, indépendamment de la construction d'un univers mathématique qui ait sens pour l'élève . Elaborer une démonstration ce n'est pas seulement déduire, c'est aussi, et dans le même mouvement, construire des objets mathématiques, construire la rationalité mathématique elle-même.

Démontrer ce n'est pas seulement savoir, mais c'est aussi ancrer ce savoir dans une certitude parce que l'on sait comment et pourquoi on sait. Réduire la démonstration au raisonnement déductif, efface toute trace des questionnements, des zones d'instabilités, des tensions qui sont les préludes au désir et au besoin de démontrer.

Pour reprendre une image plusieurs fois proposée dans cet ouvrage, la démonstration avant d'être le chemin balisé qui ignore le doute et déploie des certitudes, est le cheminement, qui se heurte aux doutes, les apaise et crée progressivement les conditions de la certitude. Dans le Ménon, étudié selon trois points de vue dans l'ouvrage, Socrate ne s'intéresse pas au cheminement mais au chemin . L'enseignant de mathématiques n'est-il pas souvent tenté de suivre l'exemple de Socrate ?

On comprend, dès lors, que la démonstration ne soit pas une voie royale tracée de toute éternité. Situer la démonstration dans l'histoire, c'est aussi se garantir de la «méprise» qui consiste à croire que la démonstration est univoquement définie, c'est être obligé de penser sa diversité. Les fondements de la démonstration se transforment, la signification de la démonstration se modifie, les formes de la démonstration changent, le sentiment d'évidence varie avec l'histoire.

Les aspects historiques, épistémologiques, philosophiques et didactiques de la démonstration sont souvent abordés de front dans les différentes contributions qui composent cet ouvrage. Nous avons regroupé celles-ci autour de quatre grands thèmes qui croisent les problèmes évoqués dans cette présentation . La première partie étudie l'objet de la démonstration mathématique, elle s'intéresse à la simultanéité dans l'histoire de l'élaboration de démonstrations et de la construction d'objets mathématiques. La seconde partie est consacrée aux changements de la forme de la démonstration. La troisième partie, intitulé «Variations et controverses autour de démonstrations» prend la diversité de la démonstration comme sujet de réflexion. La quatrième partie s'intéresse aux rapports entre l'histoire de la démonstration et l'enseignement des mathématiques.

Le chemin est ainsi balisé. Mais que le lecteur n'hésite pas à cheminer à travers le livre en fonction des questions, des doutes et des certitudes dont il est lui-même porteur...

Evelyne Barbin
Responsable de la Commission inter-I.R.E.M.
"Epistémologie et Histoire des Mathématiques."

Sommaire

Avant propos	M. HENRY
Présentation de l'ouvrage	E. BARBIN
A - OBJET DE LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUE
Présentation	E. BARBIN
Prouver : amener à l'évidence ou contrôler les implications ?	N. ROUCHE
Arrière-plans philosophiques de la démonstration	J. GUICHARD
A propos d'une référence «classique» au Ménon de Platon et de plusieurs lectures possibles	J. GUICHARD
Trois démonstrations pour un théorème élémentaire de géométrie. Sens de la démonstration et objet de la géométrie	E. BARBIN
Argumentation et démonstration : A quoi sert la démonstration de la «Loi desgrandsnombres» de Jacques Bernoulli (1654-1705)	N. MEUSNIER
Bolzano et la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires	M. GUILLEMOT
Quelques remarques sur la démonstration (Autour de la philosophie de Gonseth)	R. BKOUCHE
B - FORMES DE LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUE
Présentation	E. BARBIN
Quelques exemples de démonstrations en mathématiques chinoises	J.C. MARTZLOFF
Différentes formes de démonstrations dans les mathématiques grecques	M. LELOUARD , C. MIRA, J.M. NICOLLE
Intuition et démonstration chez Archimède	B. BETTINELLI
De la méthode dite d'exhaustion : Grégoire de Saint-Vincent (1585-1667)	J.P. LE GOFF
Euler, l'infini, et les nombres imaginaires	C. MERKER
Mathématiques constructives : hier et demain	H. LOMBARDI
Démonstration automatique en géométrie : une approche par l'algèbre	M.F. COSTE-ROY
C- VARIATIONS ET CONTROVERSES AUTOUR DE DEMONSTRATIONS
Présentation	E. BARBIN
Les porismes d'Euclide : démonstration ou divination ?	D. LANIER
Sur l'histoire des démonstrations de la règle des variations de signe de Descartes	J. BOROWCZYK
La courbe brachystochrone : l'histoire d'un problème (analogies, erreurs et incertitudes)	J.L. CHABERT
Les démonstrations de la formule du binôme au XVIIIéme siècle	M. PENSIVY
Arbogast ou la formule oubliée	J.P. FRIEDELMEYER
Paradoxe de Condorcet et procédures d'agrégation	G. FERREOL
Introduction à l'axiome du choix	M. GUILLEMOT
Autour de l'axiome du choix	M. SERFATI
D - HISTOIRE DE LA DEMONSTRATION ET ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
Présentation	E. BARBIN
Sur la démonstration de l'irrationalité chez les grecs	D. DAUMAS
Périmètre et surface du cercle dans les manuels français de la fin du 18éme siècle : Bézout, Peyrard, Legendre et Lacroix	P. LAMENDE
Le mystère de la pyramide	M. GREGOIRE
L'enseignant, la démonstration et l'Histoire	G. ITARD
RÉRÉRENCES DES AUTEURS ET ADRESSES
PRESENTATION DU COLLOQUE
PROGRAMME DU COLLOQUE
LISTE DES PARTICIPANTS