La preuve ici et là... Italie

Pour un questionnement ethnomathématique de l'enseignement de la preuve

Bettina Pedemonte

En Italien, les mots "prova" et "dimostrazione" correspondent à la traduction des mots français "preuve" et "démonstration". Du point de vue du langage commun :

"La prova matematica è l'operazione mediante la quale si controlla l'esattezza di un calcolo o della soluzione di un problema. (Talvolta usato nel senso di dimostrazione) " (La preuve est l'opération par le moyen de laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul ou la solution d'un problème. (Parfois, le mot est utilisé avec la signification de démonstration)) (Enciclopedia Universale, Rizzoli Larousse)

" La dimostrazione è il procedimento che permette di verificare, a partire da certe premesse o ipotesi, la validità di un'asserzione o tesi " (La démonstration est le processus qui permet de vérifier la validité d'une proposition ou d'une thèse, à partir de prémisses ou hypothèses données) (Enciclopedia Universale, Rizzoli Larousse).

Chez la majorité des didacticiens italiens, comme chez la majorité des enseignants, la démonstration est un "enchaînement déductif ayant une valeur générale" à partir de certaines prémisses. En géométrie, lieu privilégié pour l'approche de la démonstration dans l'enseignement secondaire italien, la sémantique demeure importante pour contrôler la validité des pas d'enchaînement.
   On demande de démontrer a partir de premières années du lycée "classique" et "scientifique" (quatrième ou troisième, c'est-à-dire avec des élèves de 14/16 ans - le lycée est de 5 années en Italie).

Dans le cours des premières année de l'école primaire (1er, 2ème, 3ème) on demande de vérifier une proposition en utilisant des objets, des outils concrets, par exemple des règles de plastique coloré (regoli o numeri in colore) pour faire la somme des nombres. Le dessin n'est pas considéré comme étant suffisant pour vérifier une affirmation, pour les enfants de l'école primaire. On pense qu'ils ont besoin de voir, de toucher, de faire des expérimentations. Les mots preuve et démonstration ne sont pas utilisés.
   En 4ème et 5ème années de l'école primaire, on utilise le mot " preuve " à la place du mot " vérification " . Par exemple dans l'expression " prova del nove " (preuve par neuf) ou la preuve de la division. On parle de vérifications parce qu'il s'agit de faire des calculs avec des nombres particuliers et de vérifier que les résultats des opérations sont corrects. Il n'y a pas de problématique de la généralisation dans ces preuves, ce sont des calculs sur dans des situations particulières.

Au niveau du collège on peut demander de prouver la formule de calcul de l'aire de figures planes. Pour cela on utilise toujours au moins le dessin; par exemple, on partage une figure plane en petits carrés pour en déterminer l'aire. Par rapport aux années de l'école primaire, la preuve a pour rôle de soutenir une généralisation (la preuve est faite sur le dessin d'un rectangle qui représente un rectangle quelconque)
   Une partie des enseignant, vers la fin du collège, font certaines démonstrations du théorème de Pythagore, de la formule de la somme des angles internes d'un polygone en partant de la connaissance du théorème sur la somme des angles d'un triangle, etc.

Les élèves rencontrent la démonstration à l'école secondaire supérieure. Les premières démonstrations sont des démonstrations géométriques.

Le mot italien pour traduire "contre-exemple" est "contro-esempio". Il a la même signification qu'en français. Il n'y pas de mots italiens pour traduire "réfutation". Probablement, dans la culture italienne, le raisonnement qui prouve qu'une affirmation est fausse n'est -il pas aussi important que le raisonnement qui prouve la vérité d'une affirmation.
   On demande aux élèves si une affirmation est vraie ou fausse déjà à l'école primaire, et on apprend qu'une affirmation est fausse s'il existe au moins un cas dans lequel elle n'est pas vérifiée.
   On parle de contre-exemple au niveau de l'école secondaire supérieure. Au collège, le terme n'est en général pas introduit. C'est seulement à l'école secondaire supérieure que l'on apprend que pour être sûr de la validité d'un énoncé il faut une démonstration, et pour être sûr de la non validité il faut un contre-exemple. C'est-à-dire qu'on ne parvient à la conscience que seule la démonstration permet d'assurer la validité d'un énoncé, à l'école secondaire supérieure. Au début du collège et surtout à l'école primaire, une preuve ou une vérification sont de fait suffisants pour être sûr de la validité d'un énoncé.